Ο Μαγικός Κόσμος των Ανώτερων Διαστάσεων

Από το Σπήλαιο του Πλάτωνα ως Τα Παράξενα Μαθηματικά του Λάβκραφτ

Δωδεκάπλευρο σε Τέσσερις Διαστάσεις. © Paul Lynander

To 2001, ο φυσικός και συγγραφέας David Langford περιέγραψε το έργο του μαθηματικού Charles H. Hinton, Τhe Fourth Dimension (1904), σαν το "πρώτο γριμόριο του 20ου αιώνα", αλλά και σαν το κλειδί για την εξερεύνηση της εφιαλτικής αρχιτεκτονικής της βυθισμένης Ρ'λυέ και του παράξενου κόσμου των Μεγάλων Παλαιών του Χ.Φ. Λάβκραφτ. Η παρατήρηση του, φυσικά, δεν ήταν άστοχη! Στο άρθρο μου για τα Παράξενα Μαθηματικά του Λάβκραφτ (Mystery, τ. 89) είδαμε πώς ο πατέρας της Μυθολογίας Κθούλου αξιοποίησε αλλόκοτες γεωμετρικές έννοιες για να προσδώσει στο έργο του μια ιδιαίτερη νότα εξωκοσμικού τρόμου.

Κατά πόσο όμως έχει δίκιο ο αρθρογράφος – που, συμπτωματικά (;) ανήκει στην ομάδα που δημιούργησε το Necronomicon: Book of Dead Names, μια αρκετά γνωστή εκδοχή του Μαύρου Βιβλίου – στο να αποκαλεί το έργο του Hinton "γριμόριο"; Κρύβεται μήπως κάποια εσωτερική αλήθεια στα πολύπλοκα μαθηματικά των τοπολόγων και των θεωρητικών φυσικών; Μη βιαστείτε να δώσετε αρνητική απάντηση γιατί, όπως θα δούμε παρακάτω, ο κόσμος των ανώτερων διαστάσεων ίσως κρύβει περισσότερα μυστικά από ότι νομίζουμε.

Εισαγωγή στον κόσμο των χορδών

© A. J. Hanson, Indiana Univ. (nature.com)

Αν κάποιο επίτευγμα της σύγχρονης Φυσικής αξίζει τον τίτλο του "επαναστατικού", αυτό είναι σίγουρα η θεωρία χορδών. Διατυπώθηκε αρχικά τη δεκαετία του 1960 και από τότε έχει γνωρίσει μεγάλη εξέλιξη, φτάνοντας να είναι το αντικείμενο έρευνας για εκατοντάδες εργαστήρια ανά τον κόσμο. Οι διαφορετικές οδοί μελέτης οδήγησαν στην ανάπτυξη διαφορετικών, και συχνά αντικρουόμενων, παρακλαδιών, καθένα από τα οποία ερμήνευε διαφορετικά χαρακτηριστικά του σύμπαντος. Πλέον όμως όλες οι διαφορετικές θεωρίες χορδών έχουν συμπτυχθεί σε μια κοινή, ενοποιημένη θεωρία, γνωστή και ως θεωρία Μ.

Βασική θέση της θεωρίας χορδών είναι πως, σε αντίθεση με την κλασική οπτική, τα υποατομικά σωματίδια δεν είναι σημειακά, χωρίς διαστάσεις. Αντίθετα, αντιμετωπίζονται πλέον σαν "χορδές", που πάλλονται και κινούνται. Αυτή η κίνηση είναι που προσδίδει στα άτομα και τα μόρια φορτίο, βάρος και γενικά όλες τις ιδιότητές τους. Πίσω από αυτήν την ιδέα, φυσικά, κρύβονται δεκάδες περίπλοκες εξισώσεις και υποθέσεις, που ξεφεύγουν από τα όρια ενός άρθρου. Σε κάθε περίπτωση, χάρη στα επιτεύγματά της, η θεωρία χορδών έχει κατορθώσει να ερμηνεύσει μερικά από τα πιο δυσνόητα αινίγματα, από τη συμπεριφορά των σωματιδίων ως τις μαύρες τρύπες, ενώ αποτελεί πλέον ένα από τους πιο σημαντικούς υποψήφιους για τον τίτλο της θεωρίας που θα κατορθώσει να εξηγήσει κάθε φυσικό φαινόμενο, της περιβόητης "θεωρίας των πάντων"!

Ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό της θεωρίας χορδών όμως είναι το ότι προϋποθέτει την ύπαρξη ανώτερων διαστάσεων! Για τη θεωρία Μ και τους ερευνητές της το σύμπαν έχει 11 διαστάσεις, οι οποίες συμπεριφέρονται με συγκεκριμένο τρόπο. Και είναι η ιδιαίτερη οπτική της θεωρίας χορδών γι' αυτές τις διαστάσεις που θα μας απασχολήσει στη συνέχεια...

Η σφαιρική οπτική του Σύμπαντος του Δάντη. © Mark A. Peterson.

Η γεωμετρία του Δάντη

Ένα χαρακτηριστικό κοινό σε όλες τις εκδοχές της θεωρίας χορδών είναι ότι οι επιπλέον διαστάσεις της δεν είναι επίπεδες. Αντίθετα, ακολουθούν τους κανόνες της μαθηματικής τοπολογίας και της εικασίας Πουανκαρέ και έτσι διπλώνονται σε ένα είδος κυκλικών ή σφαιρικών σχηματισμών ή, πιο ρεαλιστικά, με τη μορφή πολλαπλοτήτων όπως η Calabi-Yau και τα Orbifolds. Παραδόξως, όμως, αυτή η υπερσφαιρική απεικόνιση δεν είναι κάτι πραγματικά καινούριο, καθώς βρίσκεται κρυμμένη σε ένα από τα σημαντικότερα έργα της παγκόσμιας λογοτεχνίας: τη Θεία Κωμωδία του Δάντη!

© Jean-François Colonna

Στον Παράδεισο (Paradiso), το τρίτο βιβλίο του αλληγορικού ταξιδιού του Δάντη στους κόσμους του επέκεινα, ο ποιητής περιγράφει την άνοδό του, από σφαίρα σε σφαίρα, μέσα από τον Αριστοτελικό κόσμο των επτά πλανητών ως τη σφαίρα του Πρώτου Κινούντος. Πέρα από αυτό βρίσκεται το Εμπύρειο, ο υπέρτατος Παράδεισος. Ο Δάντης παρουσιάζει αυτό το ύστατο άκρο σαν ένα σημειακό Φως, αντιπροσωπευτικό του Θείου, περικυκλωμένο από εννιά ομόκεντρες σφαίρες για τις αγγελικές ιεραρχίες. Όπως όμως παρατηρεί ο φυσικός Mark Peterson (The American Journal of Physics Vol. 42 No. 12, 1979) η περιγραφή που ακολουθεί στο ποίημα παρουσιάζει τις σφαίρες των αγγέλων να αναδιπλώνονται δημιουργώντας ένα πολυδιαστατικό ημισφαίριο, ενώ αντίστοιχα αναδιπλώνονται οι σφαίρες του Αριστοτελικού κόσμου, με το Πρώτο Κινούν – στο οποίο βρίσκεται ο ποιητής – να λαμβάνει το ρόλο του ισημερινού. Σύμφωνα με τον Peterson, αυτός ο σχηματισμός είναι το ποιητικό αντίστοιχο μιας υπερσφαίρας!

Ο φυσικός τονίζει πως ο Δάντης στο έργο του αντιλαμβάνεται αναλογικά τις Αριστοτελικές και τις ουράνιες σφαίρες, με την καθεμία να περιστρέφεται σε διαφορετική ταχύτητα. Το αποτέλεσμα, υποστηρίζει ο Peterson, θυμίζει οπτικά ένα σχήμα στο οποίο η τρισδιάστατη σφαίρα του Κόσμου αιωρείται σε ένα ανώτατο και ένα κατώτατο σημείο, αλλάζοντας συνεχώς μέγεθος και τρόπο περιστροφής: αυτό δηλαδή που οι σύγχρονοι μαθηματικοί οραματίζονται σαν την προβολή μιας πολυδιάστατης υπερσφαίρας στις τρεις διαστάσεις.

Η περίπτωση του Δάντη, βέβαια, δεν είναι μοναδική. Οι ασχολούμενοι με την Καμπάλα σήμερα είναι σίγουρα εξοικειωμένοι με το Δέντρο της Ζωής, ωστόσο αυτό είναι μία μόνο από τις εναλλακτικές απεικονίσεις του καμπαλιστικού Σύμπαντος. Στην πραγματικότητα, παλιότερα πολλοί καμπαλιστές επέλεγαν να οραματίζονται τα Σεφιρώθ όχι γραμμικά (Yosher) σαν Δέντρο, αλλά με τη μορφή ομόκεντρων, αναδιπλούμενων μεταξύ τους σφαιρών (Iggulim) που εκπορεύονται από το Ain Soph Aur. Αντίστοιχα, τόσο ο νεοπλατωνισμός όσο και πολλές σχολές του Γνωστικισμού, όπως οι Βασιλλείδες, επέλεξαν σφαιρικές απεικονίσεις (Ουρανοί) σαν κοσμολογικά μοντέλα.

Όλα αυτά θυμίζουν τόσο το σχήμα του Δάντη όσο και τη θεωρία του Peterson. Ο συσχετισμός των παραπάνω όμως με την πολυδιαστατική γεωμετρία και την κβαντική Φυσική μας ανοίγει την πόρτα για την εξερεύνηση μιας ιδέας στην οποία έχουν κοινές ρίζες τόσο η δυτική μυστηριακή παράδοση, όσο και η θεωρία Μ.

Είναι ο Κόσμος ένα ολόγραμμα;

Στο έβδομο βιβλίο της Πολιτείας (380 – 360 π.Χ.) ο Πλάτωνας παρουσίασε την περιβόητη αλληγορία του σπηλαίου. Ο φιλόσοφος μας ζητά να οραματιστούμε μια ομάδα ανθρώπων που ζουν αλυσοδεμένοι σε ένα μεγάλο σπήλαιο για όλη τους τη ζωή. Το μόνο που μπορούν να δουν μπροστά τους είναι ένας άδειος τοίχος, πάνω στον οποίο πέφτουν οι σκιές μιας παράστασης που παίζεται πίσω τους, φωτισμένης από μια μεγάλη φωτιά. Σύμφωνα με το φιλόσοφο, αυτό το θολό θέατρο σκιών αποτελεί το σύνολο της ύπαρξης γι αυτούς τους ανθρώπους. Δεν διανοούνται ότι μπορεί να υπάρξει οτιδήποτε πέρα από όσα βλέπουν στον τοίχο. Αν κάποιος δραπετεύσει από το σπήλαιο, θα βιώσει τον αληθινό κόσμο έξω από αυτό, όταν όμως προσπαθήσει να απελευθερώσει τους υπόλοιπους από την πλάνη, θα γνωρίσει τη χλεύη και την περιφρόνησή τους.

Η αλληγορία του Σπηλαίου. Έργο του Jan Saenredam, 1604, Βιέννη.

Από πολλούς η αλληγορία ερμηνεύεται ως ο καθορισμός της θέσης του φιλόσοφου μέσα στην κοινωνία, σαν αφυπνιστή και απελευθερωτή των "φυλακισμένων", αλλά και σαν σύμβολο της άσβεστης δίψας του ανθρώπου για γνώση. Παρ' όλ' αυτά, εμείς θα μείνουμε στην κεντρική ιδέα του Σπηλαίου, σύμφωνα με την οποία ο κόσμος που ζούμε δεν είναι ο πραγματικός, αλλά σκιές σε έναν τοίχο. Και αυτό γιατί μια παράξενη υπόθεση της σύγχρονης φυσικής υποστηρίζει το ίδιο ακριβώς!

Το 1993, στην προσπάθειά του να ερμηνεύσει το παράδοξο εξαφάνισης της πληροφορίας στις μαύρες τρύπες, ο Ολλανδός φυσικός Gerard t'Hooft διατύπωσε μια ιδιαίτερα τολμηρή πρόταση. Υποστήριξε ότι το σύνολο της πληροφορίας που περιέχεται σε ένα συγκεκριμένο χώρο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ολόγραμμα που προβάλλεται από τα σύνορα αυτού του χώρου. Οποιοδήποτε φυσικό φαινόμενο παρατηρείται, είναι στην πραγματικότητα η προβολή μιας πληροφορίας αποτυπωμένης σε μια οριακή επιφάνεια που διαθέτει το πολύ ένα βαθμό ελευθερίας ανά μονάδα επιφάνειας Planck.

Η παραπάνω πρόταση, γνωστή σαν ολογραφική αρχή, οδηγεί σε ένα πολύ ενδιαφέρον συμπέρασμα: αν η υπόθεση ισχύει, αυτό σημαίνει πως κάθε τρισδιάστατος χώρος, ακόμη και ολόκληρο το Σύμπαν, είναι στην πραγματικότητα ένα ολόγραμμα. Σκεφτείτε πόσο θυμίζουν όλα αυτά την αλληγορία του Σπηλαίου! Ουσιαστικά, σύμφωνα με την ολογραφική αρχή, όλα όσα βιώνουμε στον κόσμο γύρω μας, ολόκληρη η ζωή μας, δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια εικονική πραγματικότητα, ένα θέατρο σκιών γραμμένο σε κάποιον μεγάλο τοίχο στα άκρα του Σύμπαντος που ζούμε.

Αυτό βέβαια γεννάει και το ακόλουθο ερώτημα: αν όντως οι ζωές μας είναι μια παράσταση, σε τι χαρτί γράφεται το σενάριο; Η θεωρία Μ, για την οποία η ολογραφική αρχή αποτελεί θεμελιώδες συστατικό, έχει την απάντηση: στις ανώτερες διαστάσεις! Για τους φυσικούς που μελετούν τις χορδές, ουσιαστικά εμείς είμαστε οι σκιές στον τοίχο. Ο αληθινός κόσμος είναι στην πραγματικότητα ένας μεγαλύτερος πολυδιαστατικός χωροχρόνος, και η τετραδιάστατη αντίληψή μας (θεωρώντας τον χρόνο σαν τέταρτη διάσταση) είναι το όριο ή ο τοίχος του Σπηλαίου. Προσπαθώντας να μετακινηθούμε μακριά από τον τοίχο εισερχόμαστε σε μια νέα διάσταση του χώρου, μια πέμπτη διάσταση, ή μια τέταρτη αν δεν λάβουμε υπόψη μας το χρόνο.

Τα μυστήρια των ανώτερων διαστάσεων όμως δεν σταματούν εδώ...

Η μεταφυσική των Ανώτερων Διαστάσεων

Εξερευνώντας τη γεωμετρία των ανώτερων διαστάσεων στο βιβλίο του Geometry, Relativity and the Fourth Dimension (1977), ο μαθηματικός Rudolf Rucker πρότεινε μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα θεωρία: πως το περιβόητο αστρικό πεδίο είναι στην πραγματικότητα η τέταρτη χωρική διάσταση! Σύμφωνα με το συγγραφέα, τα μαθηματικά υποδεικνύουν πως είμαστε στην πραγματικότητα 4D-όντα, και πως με διαδικασίες όπως η αστρική προβολή και τα διαυγή όνειρα βιώνουμε τον πραγματικό κόσμο των ανώτερων διαστάσεων.

Ο Rucker, βέβαια, δεν προχώρησε περισσότερο στην υπόθεσή του. Ωστόσο αυτό δεν σταμάτησε εκείνους τους εραστές του απόκρυφου που ταυτόχρονα έδειχναν ενδιαφέρον προς τις θετικές επιστήμες! Έτσι, μέσα από πολύπλοκες εξισώσεις και καινοτόμες ιδέες, ο "πατέρας" της Χαοτικής Μαγείας, αλλά και θεωρητικός φυσικός Peter J. Carroll δίνει στο έργο τουPsybermagick (1995), και αργότερα στο Apophenion: A Chaos Magic Paradigm (2008), ένα μοντέλο πολλαπλών διαστάσεων, τόσο για τον υλικό κόσμο όσο και για αυτό που οι μάγοι αποκαλούν "αστρικό". Αλλά και οι Dolores Ashcroft-Nowicki και James Herbert Brennan (Η Μαγική Χρήση της Σκέψης, Αρχέτυπο 2008) επιλέγουν να συνδέσουν τα πολυδιαστατικά μαθηματικά με τις αστρικές αισθήσεις του ανθρώπου, καθώς και με τη δημιουργία και τη διαχείριση των σκεπτομορφών.

Κατά πόσο όμως ισχύουν αυτοί οι συσχετισμοί; Απλά σκεφτείτε για λίγο τις δυνατότητες που, θεωρητικά, θα είχε κάποιος που διαχειρίζεται τις ανώτερες διαστάσεις. Φέρτε στο νου σας τη σφαίρα από το Flatland του Edwin Abbott που, στον δισδιάστατο κόσμο της επιπεδοχώρας, μπορούσε να υπερβεί τους τοίχους και να ληστεύει χρηματοκιβώτια χωρίς καν να τα ανοίγει. Θυμηθείτε τον Γουώλτερ Γκίλμαν και την Κέζια Μέησον από τα Όνειρα στο Σπίτι της Μάγισσας του Χ.Φ. Λάβκραφτ οι οποίοι, έχοντας κατανοήσει σε βάθος τη φύση των γωνιών και των ανώτερων διαστάσεων, μπορούσαν να κινούνται στο χωροχρόνο και να ταξιδεύουν με τρόπους αδύνατους για το υλικό σώμα. Και μετά συγκρίνετε τα παραπάνω με τις εμπειρίες όσων έχουν επιτύχει αστρικό ταξίδι ή διαυγές όνειρο. Θα διαπιστώσετε πως οι ομοιότητες είναι πάρα πολλές.

Προσέξτε όμως και το εξής: όπως παρατηρούν οι Ashcroft-Nowicki και Brennan, αλλά και ο Donald Tyson (Αστρική Προβολή, Αρχέτυπο 2008), η απτή πραγματικότητα που βιώνουμε είναι ένα προβολικό όραμα κατασκευασμένο από το νου, που η αληθινή του φύση είναι το περιβόητο "πεδίο της φαντασίας", το "συλλογικό ασυνείδητο" του Καρλ Γιουνγκ ή, πολύ απλά, το "αστρικό πεδίο". Την ίδια ιδέα όμως, όπως είδαμε ήδη, παρουσιάζει και η θεωρία Μ με την ολογραφική αρχή, εμπλέκοντας τις ανώτερες διαστάσεις! Ίσως, λοιπόν, αυτό που αποκαλούμε "αστρική προβολή" να είναι όντως ένα πέρασμα σε μια συνειδησιακή κατάσταση στην οποία μπορούμε να βιώσουμε και να διαχειριστούμε τις διαστάσεις που δεν μπορούμε να δούμε υλικά.

Η μαγική θεώρηση των ανώτερων διαστάσεων βέβαια δεν είναι κάτι πρόσφατο. Ήδη από τo 1889, λίγα χρόνια μετά την πρώτη δημοσίευση του Hinton, o Oliver Lodge, φυσικός και πρόεδρος της Βρετανικής Εταιρίας Ψυχικών Ερευνών είχε παρατηρήσει πως η νεοεμφανιζόμενη τότε πολυδιαστατική θεώρηση του κόσμου ίσως είναι το κλειδί για την ερμηνεία πολλών πνευματιστικών φαινομένων. Και το θέμα δεν ξέφυγε ούτε από την προσοχή των μεγάλων μορφών του δυτικού εσωτερισμού της εποχής.

Έτσι, τα μυστήρια της Τέταρτης Διάστασης του χώρου απασχόλησαν τόσο τον Peter Ouspensky της Τέταρτης Οδού (Tertium Organum, 1912) όσο και τον ιδρυτή της Ανθρωποσοφίας, Rudolf Steiner (The Fourth Dimension: Sacred Geometry, Alchemy and Mathematics, 1925). Η τέταρτη διάσταση αποτέλεσε το όχημα αυτών των δύο μεγάλων δασκάλων για την ανάπτυξη ποικίλων φιλοσοφικών και μεταφυσικών ιδεών, τόσο για την ερμηνεία του Μαγικού Έργου όσο και για τη φύση της πραγματικότητας. Με τις ανώτερες διαστάσεις όμως ασχολήθηκε και ο περιβόητος Άλιστερ Κρόουλυ, μέσα από το αλληγορικό μυθιστόρημά του, Moonchild (1917), ενώ το 1947 ο ιδρυτής του τάγματος των Χτιστών του Αδύτου, Paul Foster Case, παρουσίασε για πρώτη φορά μια ριζοσπαστική θεωρία σύμφωνα με την οποία η πραγματική διάταξη των γραμμάτων στο καμπαλιστικό Sepher Yetzirah δεν είναι αυτή του Δέντρου της Ζωής, αλλά αυτή του πολυδιαστατικού Κύβου του Χώρου!

Όλοι οι παραπάνω μάλιστα χρησιμοποίησαν το έργο του Hinton και τον υπερκύβο Tesseract σαν βάση για τα έργα τους. Η προσέγγισή τους βέβαια παρέμεινε, σε μεγάλο βαθμό, θεωρητική. Καθώς όμως οι δεκαετίες περνούσαν, και με την εμφάνιση της Χαοτικής Μαγείας και άλλων σχολών εσωτερικής σκέψης που έδιναν έμφαση στην καινοτομία και την εφευρετικότητα, η θεωρία έγινε σύντομα πράξη...

Εισαγωγή στην Πολυδιαστατική Μαγεία

Στο διήγημα του Χ.Φ. Λάβκραφτ, Ο Στοιχειωτής του Σκοταδιού (1935), κεντρικό ρόλο διαδραματίζει ένα παράξενο αντικείμενο, γνωστό σαν Αστραφτερό Τραπεζόεδρο. Τα μέλη της μυστηριώδους Εκκλησίας της Αστρικής Σοφίας χρησιμοποιούσαν αυτό το προκατακλυσμιαίο κατασκεύασμα σαν ένα παράθυρο στο χωροχρόνο και σαν μέσο επίκλησης του Νυαρλαθοτέπ. Ο Λάβκραφτ περιγράφει το αντικείμενο σαν ένα ακανόνιστο γεωμετρικό στερεό με παράξενες, μη-Ευκλείδιες γωνίες, του οποίου οι πρισματικές όψεις είναι ικανές να ανοίξουν πύλες προς τις ανώτερες διαστάσεις και τους παράξενους και φριχτούς κόσμους των Μεγάλων Παλαιών, αλλά και να φέρουν την τρέλα σε όποιον κάνει το λάθος να εστιάσει το βλέμμα του σε αυτές.

Το Τραπεζόεδρο του Λάβκραφτ δεν είναι το μόνο παράδειγμα τέτοιου αντικειμένου στη λογοτεχνία, φυσικά. Αντίστοιχο ρόλο διαδραματίζουν ο μυστηριώδης Κύβος του Λεμαρσάν (Mystery τ. 49) στο The Hellbound Heart του Clive Barker, αλλά και ο εξηκοντάλιθος Ixaxaar από τη Νουβέλα της Μαύρης Σφραγίδας του Άρθουρ Μάχεν, το λατρευτικό αντικείμενο μιας εξαφανισμένης φυλής ανώτερων όντων. Αλλά και η μαγική παράδοση μας παρουσιάζει ανάλογα παραδείγματα, όπως τον περιβόητο Κύβο του αρχάγγελου Μέτατρον, μια γεωμετρική προβολή των Πλατωνικών Στερεών που πιστεύεται ότι κρύβει μέσα στην ιερή γεωμετρία του το μυστικό για την άνοδο στα πλάνα και το όραμα του Θρόνου του Θεού (βλ. Παράδοση Μέρκαμπα).

Κατά καιρούς, λοιπόν, διάφορες μαγικές σέκτες και ομάδες έχουν αναπτύξει μεθόδους για να επιτύχουν το αποτέλεσμα αυτών των αντικειμένων και να ανοίξουν ένα δίαυλο επικοινωνίας με τις ανώτερες διαστάσεις και την Άλλη Πλευρά. Μια από τις πρώτες προσπάθειες ήταν αυτή του Ebony Anpu (Charles Reese) και της Θελημικής ομάδας Hawk & Jackal, ο οποίος επινόησε μια μέθοδο εργασίας ατραπού (pathworking) έχοντας σαν βάση τον τετραδιάστατο κύβο του Hinton, τα Ταρώ του Θωθ του Κρόουλυ και, φυσικά, την κυβική οπτική για το Sepher Yetzirah.

Σύμφωνα με τον Anpu, η εξάσκηση αυτής της πολυδιαστατικής εργασίας επιτρέπει στο μύστη να βιώσει τη ζωή σε παράλληλα σύμπαντα και ανώτερες διαστατικές καταστάσεις, αλλά και να μεταφερθεί ίσως σε αυτές! Πολλές από τις μαρτυρίες της Hawk & Jackal για το τυπικό, βέβαια, είναι σίγουρα υπερβολικές (όπως ο ισχυρισμός ενός μέλους ότι γλίτωσε από ένα τροχαίο δυστύχημα με το να μεταφέρει, μέσω του τυπικού, το σώμα του από το αυτοκίνητο πίσω στο διαμέρισμά του) και πρέπει να εξετάζονται με επιφύλαξη. Ωστόσο, η μέθοδος δεν χάνει το ενδιαφέρον της. Όπως τονίζει ο Anpu, η χρήση του υπερκύβου στο τυπικό επιτρέπει στο νου να ανοιχθεί σε νέες συνειδησιακές καταστάσεις, να εξερευνήσει το σύμπαν των γωνιών και της γεωμετρίας των Πλατωνικών Στερεών και να βιώσει οράματα από τους κόσμους των ανώτερων διαστάσεων.

Περισσότερα στοιχεία για τη ζωή και το έργο του Ebony Anpu μπορείτε να βρείτε στο Necronomicon του Γιώργου Ιωαννίδη (Αρχέτυπο, 2008). Στο μεταξύ, ο Michael Bertiaux της La Couleuvre Noire είχε ήδη αναπτύξει και παρουσιάσει έναν αντίστοιχο πολυδιαστατικό κύβο, γνωστό σαν Σύμβολο της Απελευθέρωσης. Σε αντίθεση, όμως, με τους πομπώδεις ισχυρισμούς της Hawk & Jackal, ο Bertiaux παρουσιάζει το δικό του τελετουργικό σαν έναν αντινόμιο καμπαλιστικό χάρτη του Σύμπαντος: έχοντας ως βάση θεωρίες που ο ίδιος αποκαλεί "Μαατική Φυσική", ο μάγος από το Seattle ουσιαστικά επινοεί ένα μέσο για το μαγικό συντονισμό με το, αμφιλεγόμενο από πολλούς "ορθόδοξους" Θελημίτες, Ρεύμα της Μάατ, προσδίδοντάς δηλαδή στο Tesseract ένα ρόλο πολύ παρόμοιο με αυτόν του Κύβου του Μέτατρον.

To άνοιγμα του Τραπεζόεδρου

Αυτές φυσικά δεν είναι οι μοναδικές περιπτώσεις μαγικής εφαρμογής του Υπερκύβου, για τις οποίες θα χρειαζόταν ένα ολόκληρο βιβλίο. Ωστόσο, από τα δύο παραπάνω παραδείγματα φαίνεται ολοκάθαρα η ομοιότητα της πρακτικής με το Αστραφτερό Τραπεζόεδρο της Μυθολογίας Κθούλου. Έτσι, έχουν δημιουργηθεί πολλές εκδοχές τέτοιων εργασιών με υπόβαθρο βασισμένο στο λαβκραφτικό έργο. Ο ίδιος ο Bertiaux εφαρμόζει τον Κύβο του σε εργασίες μέσα στα πλαίσια της ιδιαίτερης προσέγγισής του στο φαινόμενο Νεκρονομικόν. Ο πατέρας της Τυφώνειας Παράδοσης, Kenneth Grant, έντονα επηρεασμένος από τη La Couleuvre Noire, αφιερώνει επίσης μεγάλο μέρος του ογκώδους έργου του στην πολυδιαστατική φύση των Μεγάλων Παλαιών. Σε πιο πρακτικά ζητήματα, τέλος, το αγγλικό Nu-Isis Group χρησιμοποιεί τον οραματισμό του Tesseract σαν πύλη στις επικλήσεις του προς τον Γιογκ-Σοθώθ, ενώ και ο Γιώργος Ιωαννίδης παρουσιάζει στο βιβλίο του μια αντίστοιχη εργασία, βασισμένη εν μέρει στο τυπικό του Ebony Anpu, αλλά με υπόβαθρο προερχόμενο από τη Μυθολογία Κθούλου.

Όλα αυτά επιβεβαιώνουν περίτρανα τον ισχυρισμό του Langford: το έργο του Hinton ουσιαστικά έχει λειτουργήσει σαν ένα ιδιόμορφο γριμόριο, δίνοντας τα μέσα για τη δημιουργία και τη χρήση των παραπάνω τεχνικών, αλλά και για τη μαγική εργασία στα πλαίσια του λαβκραφτικού έργου. Αυτοί που θα επιλέξουν να ασχοληθούν πρακτικά με τη μαγεία των διαστάσεων θα πρέπει να μελετήσουν προσεκτικά τόσο τα έργα των παραπάνω μάγων, όσο και την ίδια την έννοια και τη φύση των ανώτερων διαστάσεων, μέσα από έργα όπως αυτά των Hinton και Rucker.

Προσοχή όμως! Όπως προειδοποιούν όλοι όσοι δουλεύουν πάνω στη μαγεία του υπερκύβου, εργασίες αυτού του είδους προκαλούν δραματικές αλλαγές στη συνειδησιακή κατάσταση του ατόμου. Η έκθεση του νου στις ανώτερες διαστάσεις ανοίγει βίαια τις πύλες για μια συνάντηση με τη Σκιά του, η οποία μπορεί να σημάνει την αρχή μιας αλχημικής πορείας προς την γιουνγκική εξατομίκευση, η οποία δεν θα διαφέρει και πολύ από την υψηλή Θεουργία. Μπορεί όμως και να παγιδεύσει μια εύθραυστη προσωπικότητα ή έναν ευκαιριακό αναζητητή σε ένα συνεχές Nigredo φόβου και τρέλας, ακριβώς όπως το Αστραφτερό Τραπεζόεδρο παγίδευσε όσους κοίταξαν μέσα του.

Πρακτικές αυτού του είδους, λοιπόν, σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να επιχειρούνται ασυλλόγιστα. Εκείνοι, πάντως, που νιώθουν αρκετά σίγουροι ώστε να ασχοληθούν προσεκτικά, σοβαρά και επιμελώς με το ζήτημα, θα δουν να ανοίγεται μπροστά τους ένας νέος, άγνωστος και τρομακτικός μα συνάμα συναρπαστικός κόσμος. Και – ποιος ξέρει; – ίσως κατορθώσουν να βρουν το δρόμο προς τον ύστατο στόχο της λαβκραφτικής μαγείας: το πυρηνικό κέντρο του Χάους και τον θρόνο του Άζαθωθ...

Τα Παράξενα Μαθηματικά του Λάβκραφτ

"H γεωμετρία του μέρους που έβλεπε στα όνειρά του ήταν αφύσικη, μη-Ευκλείδεια, και γεμάτη απεχθείς σφαίρες και διαστάσεις πέρα από τις δικές μας". Πίνακας του Greg Nemec

Σχεδόν οχτώ δεκαετίες μετά το θάνατό του, ο Χ.Φ. Λάβκραφτ παραμένει μια από τις σημαντικότερες προσωπικότητες στη Φανταστική λογοτεχνία. Το σύμπαν που δημιούργησε, κυριαρχούμενο από το τρομερό πάνθεο των Μεγάλων Παλαιών, έχει εξελιχθεί σε ένα σχεδόν αρχετυπικό σύμβολο τρόμου και μυστηρίου. Επιτυχημένοι συγγραφείς, όπως ο Stephen King και ο Neil Gaiman, αναγνωρίζουν σε αυτόν την κύρια πηγή έμπνευσής τους. Δεκάδες ερευνητές έχουν ξοδέψει τόνους μελανιού μελετώντας διάφορες πτυχές της ζωής και του έργου του. Αμέτρητα βιβλία έχουν διεκδικήσει την ιδιότητα του αυθεντικούΝεκρονομικόν, ενώ τις τελευταίες δεκαετίες διάφοροι μάγοι χρησιμοποιούν λαβκραφτικά στοιχεία στο έργο τους, συνθέτοντας μια σειρά από ποικίλες και πολύχρωμες μαγικές πρακτικές που από πολλούς χαρακτηρίζονται συλλογικά ως Ρεύμα του Νεκρονομικόν.

Υπάρχει όμως ένα κομμάτι της Μυθολογίας Κθούλου που έχει περάσει σχεδόν απαρατήρητο από τους περισσότερους μελετητές της: τα μαθηματικά! Ίσως λόγω έλλειψης γνώσεων ή ενδιαφέροντος, ελάχιστοι έχουν δώσει σημασία σε αυτήν την πτυχή του έργου του. Στην πραγματικότητα όμως τα διηγήματα του Λάβκραφτ ξεχειλίζουν από παράξενες μαθηματικές ιδέες. Αλλόκοτες γωνίες, άγνωστες διαστάσεις και περίπλοκες εξισώσεις παρελαύνουν στα έργα του από την αρχή κιόλας της συγγραφικής καριέρας του και, σε συνδυασμό με υπόνοιες για παράξενες μαγικές πρακτικές και εξωγήινες τεχνολογίες, δημιουργούν μια εξωτική και υποβλητική ατμόσφαιρα τρόμου. Η Μυθολογία Κθούλου κρύβει έναν παράξενο κόσμο μέσα σε αυτές τις αναφορές, τον οποίο όμως λίγοι έχουν εξερευνήσει.

Σε αυτό το άρθρο λοιπόν θα κάνουμε ένα μικρό ταξίδι στα παράξενα μαθηματικά του Λάβκραφτ, μέσα από επιλεγμένα έργα του. Και ο πρώτος σταθμός μας δεν είναι άλλος από την εξωτική γεωμετρία των Μεγάλων Παλαιών, την περιβόητη "μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία"!

Η μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία της Ρ'λυέ

Η Αναδυόμενη R'lyeh. Έργο του John Coulthart.

Ήταν το 1926 όταν ο Λάβκραφτ παρουσίασε για πρώτη φορά την αλλόκοτη αρχιτεκτονική της βυθισμένης Ρ’λυέ στο διήγημα Το Κάλεσμα του Κθούλου, μέσα από τις περιγραφές του καλλιτέχνη Γουίλκοξ και του ναύτη Γιόχανσεν:

Αναφέρομαι σε αυτές τις κουβέντες για γωνίες επειδή δείχνουν κάτι που μου είχε αναφέρει και ο Γουίλκοξ όταν μου μίλησε για τα όνειρά του. Είπε πως η γεωμετρία του μέρους που έβλεπε στα όνειρά του ήταν αφύσικη, μη-Ευκλείδεια, και γεμάτη απεχθείς σφαίρες και διαστάσεις πέρα από τις δικές μας.

Αργότερα δε, καθώς οι ναύτες προσπαθούσαν να ξεφύγουν από την φρίκη του Κθούλου, ένας από τους συντρόφους του Γιόχανσεν "χάθηκε μέσα σε μια γωνία μιας κατασκευής που δεν θα έπρεπε να υπάρχει, μια γωνία που ενώ φαινόταν να είναι οξεία, συμπεριφερόταν σαν αμβλεία". Ξανά γίνονται αναφορές σε παράξενες γωνίες, με ακόμη πιο παράξενη συμπεριφορά. Τι είναι λοιπόν αυτή η εξωκοσμική γεωμετρία;

Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία είναι στην πραγματικότητα μια ολόκληρη κατηγορία γεωμετριών, κοινό στοιχείο των οποίων, όπως άλλωστε υποδηλώνεται και από το όνομά τους, είναι η άρνηση συγκεκριμένων θέσεων της γεωμετρίας του Ευκλείδη. Αποτελούν πλέον στυλοβάτες της σύγχρονης Φυσικής, από τη Σχετικότητα του Αϊνστάιν ως τις σύγχρονες κβαντικές θεωρίες χορδών και βρόχων, ενώ έχουν βρει και αρκετές πρακτικές εφαρμογές στην καθημερινότητα, όπως οι υπερευρυγώνιοι φακοί που χρησιμοποιούν πολλοί επαγγελματίες φωτογράφοι. Ιστορικά πάντα, η επίσημη παρουσίαση των πρώτων μη-Ευκλείδειων γεωμετριών γίνεται στις αρχές του 19ου αιώνα από τους Μπολυάι και Λομπατσέφσκι, και λίγο αργότερα από τον Ρήμαν. Πάνω στο συγκεκριμένο αίνιγμα όμως είχαν ήδη εργαστεί αμέτρητοι στοχαστές, από τον Ποσειδώνιο και τον Πρόκλο ως τον Σακέρι και τον Γκάους, ενώ οι πρώτες υπόνοιες χρονολογούνται από την εποχή του ίδιου του Ευκλείδη!

Στα Στοιχεία, το μνημειώδες έργο όπου καταγράφεται, οργανώνεται και συστηματοποιείται όλη η μαθηματική γνώση της εποχής του Ευκλείδη, παρουσιάζονται μια σειρά από ορισμούς, προτάσεις, θεωρήματα και αξιώματα από τα οποία προκύπτουν οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των ακέραιων αριθμών. Η συμβολή του στη θεμελίωση των θετικών επιστημών ήταν τέτοια, ώστε το σύνολο της κλασικής γεωμετρικής γνώσης να μείνει γνωστό σαν "Ευκλείδεια Γεωμετρία". Κι όμως, ο ίδιος ο μαθηματικός από την Αλεξάνδρεια παρέχει τις βάσεις για την αμφισβήτηση αυτής της γεωμετρίας! Πού; Μα, φυσικά, στο περιβόητο αίτημα των παραλλήλων...

Τα μαθηματικά των παράξενων γωνιών

Κεντρική θέση στις παρατηρήσεις των Στοιχείων κατέχουν πέντε βασικά Αιτήματα, μια σειρά από προτάσεις που, λόγω της διαισθητικής αλήθειας τους, θεωρούνται αυταπόδεικτες. Ανάμεσά τους όμως ξεχωρίζει το πέμπτο αίτημα, σύμφωνα με το οποίο "Αν μία ευθεία, που τέμνει δύο άλλες, σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε οι δύο ευθείες, προεκτεινόμενες επ' άπειρον θα τμηθούν και μάλιστα προς το μέρος όπου βρίσκοται οι γωνίες με το μικρότερο των δύο ορθών άθροισμα". Ή, όπως το επαναδιατυπώνει απλούστερα ο Πλεϋφαίρ, "από ένα σημείο εκτός μιας ευθείας μπορεί να διέρχεται μία και μόνο μια παράλληλη προς αυτή".

Το αίτημα των παραλλήλων είναι υπερβολικά περίπλοκο, όχι άμεσα αντιληπτό, και μοιάζει περισσότερο με θεώρημα που προκύπτει από τα προηγούμενα, παρά με αυταπόδεικτη αλήθεια. Ο ίδιος ο Ευκλείδης παρουσιάζεται διστακτικός στη διατύπωσή του, ξεχωρίζοντάς από τα υπόλοιπα αιτήματα και αφήνοντας υπόνοιες για τη φύση και την ισχύ του. Ανά τους αιώνες, λοιπόν, αμέτρητοι στοχαστές ασχολήθηκαν με την πιθανότητα απόδειξης του πέμπτου αιτήματος, χωρίς όμως επιτυχία, ώσπου τελικά η ανεξαρτησία του υπό προϋποθέσεις αποδείχθηκε από τον Μπελτράμι το 1868. Παρ' όλα αυτά, οι προσπάθειές τους οδήγησαν στη διατύπωση σημαντικών γεωμετρικών προτάσεων, ενώ αποτέλεσαν τη βάση για την ανακάλυψη των μη-Ευκλείδειων γεωμετριών, που στηρίζονται στην απόρριψη του αιτήματος των παραλλήλων. Πώς, όμως, προκύπτει μια νέα γεωμετρία από την άρνηση αυτού του αιτήματος;

Στην κλασική Ευκλείδεια γεωμετρία το βασικό μοντέλο αντίληψης είναι η επίπεδη επιφάνεια, όπου δυο ευθείες γραμμές που βρίσκονται σε σταθερή απόσταση μεταξύ τους μπορούν να παραμείνουν ευθείες επ' άπειρον, καταλήγοντας έτσι να είναι παράλληλες. Κατά συνέπεια, επιβεβαιώνεται η πρόταση του πέμπτου αιτήματος, εφόσον από ένα σημείο εκτός της πρώτης ευθείας θα μπορεί να διέρχεται μόνο μία ευθεία που να μην την τέμνει.

Τι θα συνέβαινε όμως αν η επίπεδη επιφάνεια καμπυλωνόταν; Η απάντηση είναι πως οι ευθείες που τη διαγράφουν, καθώς προσεγγίζουν το θεωρητικό σημείο τερματισμού της επιφάνειας, θα καμπυλωθούν επίσης. Αυτή η καμπύλωση μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, οδηγεί όμως οπωσδήποτε στην αναίρεση του αιτήματος των παραλλήλων: αν οι ευθείες απομακρύνονται η μία από την άλλη, συνεπάγεται πως από ένα σημείο εκτός ευθείας μπορούν να διέρχονται όχι μία, αλλά άπειρες παράλληλες. Αν, αντίθετα, προσεγγίζουν η μία την άλλη, τότε όλες οι ευθείες τέμνονται μεταξύ τους και ουσιαστικά δεν υπάρχουν παράλληλες!

Κάπως έτσι προκύπτουν τα δύο πρώτα μη-Ευκλείδεια συστήματα, η υπερβολική και η ελλειπτική γεωμετρία, ενώ με τον έλεγχο και την άρνηση επιπλέον Ευκλείδειων θέσεων οδηγούμαστε σε ακόμα περισσότερα. Καθώς, δε, αλλάζει η συμπεριφορά των γραμμών από την Ευκλείδεια στη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλάζουν αντίστοιχα και οι γεωμετρικές ιδιότητες των σχημάτων και των στερεών που προκύπτουν από αυτές (Εικόνα 1). Έτσι, στην ελλειπτική γεωμετρία μια γωνία που φαινομενικά είναι οξεία συμπεριφέρεται σαν αμβλεία, ακριβώς όπως η γωνία που καταβρόχθισε το ναυτικό στο Κάλεσμα του Κθούλου!

Εικόνα 1: Διαφορές ευκλείδειας και μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Κβαντικά όνειρα στο Σπίτι της Μάγισσας

Ο Λάβκραφτ εμπλουτίζει ακόμη περισσότερο τα μεταγενέστερα έργα του με παράξενους μαθηματικούς όρους. Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία εμφανίζεται επανειλημμένα σε διηγήματα όπως το Μέσα από τις Πύλες του Ασημένιου Κλειδιού και σε νουβέλες σαν τα Βουνά της Τρέλας. Η πιο εκτεταμένη χρήση τους, όμως, γίνεται σε ένα από τα πιο παράξενα έργα της Μυθολογίας Κθούλου, ταΌνειρα στο Σπίτι της Μάγισσας.

Ο πρωταγωνιστής της ιστορίας, Γουώλτερ Γκίλμαν, ταξιδεύει στο Πανεπιστήμιο Μισκατόνικ για να σπουδάσει "μη-ευκλείδεια μαθηματικά και κβαντική φυσική". Διαλέγει μάλιστα να μείνει στο σπίτι της διαβόητης μάγισσας Κέζια Μέησον, που έδρασε και συνελήφθη την περίοδο του κυνηγιού μαγισσών στο Σάλεμ, απ' όπου και εξαφανίστηκε μυστηριωδώς. Κατά τη δίκη της, η Μέησον είχε μιλήσει για "γραμμές και γωνίες, οι οποίες έδειχναν κατευθύνσεις που οδηγούσαν μέσα από τα τείχη του χώρου σε άλλους χώρους στο υπερπέραν...", κάτι που εντυπωσίασε έντονα τον φοιτητή, αφού μια μάγισσα του 17ου αιώνα φαινόταν να έχει γνώσεις μαθηματικών πολύ μπροστά από την εποχή της.

Όσο περισσότερο έμενε ο Γκίλμαν στο σπίτι της μάγισσας όμως, τόσο στοιχειωνόταν από περίεργα όνειρα, όπου βυθιζόταν σε απύθμενες αβύσσους και αλλόκοτα συμπλέγματα πεδίων, πρισμάτων και λαβυρίνθων. Τα όνειρά του τον κατέβαλαν σωματικά, αλλά βελτίωσαν την ικανότητά του στην επίλυση των εξισώσεων του Ρήμαν και στην κατανόηση των τεσσάρων διαστάσεων. Τελικά, κατορθώνει και ο ίδιος να ταξιδέψει στην τέταρτη διάσταση πέρα από τους γνωστούς άξονες του χώρου και του χρόνου χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες γωνίες σαν κλειδί. Ξανά, λοιπόν, ο Λάβκραφτ χρησιμοποιεί τα μαθηματικά στη γλώσσα του λοιπόν, παρουσιάζοντας αυτή τη φορά ένα νέο μυστήριο: Η χρήση των γωνιών αποτελεί το κλειδί για το άνοιγμα πυλών και το ταξίδι σε άλλες, άγνωστες και πιθανώς τερατώδεις διαστάσεις, στις οποίες κατοικούν οι ίδιοι οι Μεγάλοι Παλαιοί, οι εξώκοσμοι θεοί της Μυθολογίας Κθούλου. Τι είναι όμως αυτές οι παράξενες διαστάσεις;

Τα Μαθηματικά της 4ης Διάστασης

Εικόνα 2: Ο υπερκύβος Tesseract

Όταν αναφέρεται η λέξη "διάσταση" στη λογοτεχνία του Φανταστικού, συνήθως ορίζεται σαν ένας "άλλος κόσμος", κάποιο παράλληλο σύμπαν ή πεδίο ύπαρξης διαφορετικό από το δικό μας. Ωστόσο, ο Λάβκραφτ χρησιμοποιεί τις διαστάσεις με την έννοια που έχουν στις θετικές επιστήμες: πρόκειται, δηλαδή, γιαέμφυτες γεωμετρικές ιδιότητες, καθοριζόμενες από ένα ελάχιστο σύνολο παραμέτρων ή βαθμών ελευθερίας. Μια γραμμή έχει μόνο μια διάσταση (μήκος), ένα επίπεδο δύο (μήκος, πλάτος) και ένα στερεό σώμα τρεις (μήκος, πλάτος, ύψος). Ο χώρος, λοιπόν, χαρακτηρίζεται από αυτές τις τρεις διαστάσεις, μαθηματικά συμβολιζόμενες από τρεις κατακόρυφους άξονες x, y και z, στο συνδυασμό των οποίων ζούμε και κινούμαστε.

Είναι όμως αυτές οι μοναδικές διαστάσεις του χώρου, ή μήπως θα μπορούσαν να υπάρχουν και άλλες; Από μαθηματικής άποψης η απάντηση είναι σαφώς καταφατική. Στους τρεις γνωστούς χωρικούς αξόνες θα μπορούσε να προστεθεί ένας τέταρτος, κάθετος προς αυτούς, και θα καταλήγαμε σε ένα σύστημα τεσσάρων διαστάσεων (x, y, z, w).

Η διαδικασία ουσιαστικά είναι η ίδια με το να απεικονίζεις ένα τρισδιάστατο σχήμα (π.χ. ένα κύβο) στη δισδιάστατη επιφάνεια του χαρτιού και θεωρητικά θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί και για πέντε, έξι, δέκα ή και άπειρες διαστάσεις, άσχετα με το αν υφίστανται ή όχι. Από μαθηματικής άποψης, η ύπαρξή τους είναι δυνατή.

Η ιδέα μιας τέταρτης διάστασης είχε μελετηθεί από τις αρχές του 19ου αιώνα, αλλά έγινε γνωστή χάρη στο έργο του Charles H. Hinton. Αρχικά με την εργασία του, What is the Fourth Dimension? (1880) καθώς και μέσα από μια σειρά αλληγορικών διηγημάτων ο Βρετανός μαθηματικός έθεσε τις βάσεις για την κατανόηση της Τέταρτης Διάστασης από το ευρύτερο κοινό, ενώ στη συνέχεια με τα βιβλία του A New Era of Thought (1888) και The Fourth Dimension (1904) περιέγραψε διάφορες τεχνικές οραματισμού αυτής της διάστασης, μέσα από ένα σύστημα που περιελάμβανε μια σειρά από τετραδιάστατους υπερκύβους δικής του επινόησης, τα Tesseracts (Εικόνα 2). Πώς θα φαινόταν όμως στα μάτια μας ο τετραδιάστατος χώρος; Πώς θα έμοιαζε ένα πλάσμα προερχόμενο από αυτόν; Για να το απαντήσουμε αυτό, αρκεί απλά να σκεφτούμε αναλογικά: Πώς θα φαινόμασταν εμείς, ως τρισδιάστατα όντα, σε κάποιον που ζει σε δύο διαστάσεις;

Η Επιπεδοχώρα

Το 1884 κυκλοφόρησε ένα ασυνήθιστο μυθιστόρημα με τον τίτλο Flatland, που έδινε την απάντηση σε αυτό ακριβώς το ερώτημα. O συγγραφέας του, Edwin Abbott, παρουσίαζε έναν παράξενο επίπεδο κόσμο, του οποίου οι δισδιάστατοι κάτοικοι αγνοούσαν την ύπαρξη της τρίτης διάστασης, ώσπου ένας τους συνάντησε ένα πλάσμα από αυτήν! Όταν λοιπόν η τρισδιάστατη σφαίρα παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο δισδιάστατο τετράγωνο κάτοικο, ο τελευταίος την είδε ως ένα σημείο που σταδιακά μεγεθύνθηκε σε ένα κύκλο και στη συνέχεια σμικρύνθηκε ξανά.

Αντίστοιχα τώρα, ένα τετραδιάστατο σχήμα, σαν τον υπερκύβο Tesseract, θα φαινόταν στα μάτια μας σαν να περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του, να μεγεθύνεται και να σμικρύνεται ταυτόχρονα, διαθέτοντας έτσι μια ρευστή δομή ξένη προς τη συνηθισμένη δομή των τρισδιάστατων μαζών (Εικόνα 2). Ακριβώς, δηλαδή, σαν τους Μεγάλους Παλαιούς που, σύμφωνα με τον Λάβκραφτ, "δεν αποτελούνται από σάρκα και αίμα. Έχουν σχήμα [...] αλλά αυτό δεν είναι φτιαγμένο από μάζα".

Προσέξτε όμως και το εξής: η σφαίρα, κινούμενη στην τρίτη διάσταση, στα μάτια του δισδιάστατου τετραγώνου στο Flatlandφάνηκε να παρουσιάζει παράξενες δυνάμεις, όπως την ικανότητα να παραβιάσει ένα χρηματοκιβώτιο χωρίς να το ανοίξει. Αντίστοιχα, ένα ον με την ικανότητα της κίνησης στον τετραδιάστατο χώρο θα μπορούσε περάσει μέσα από τους τρισδιάστατους τοίχους ενός δωματίου και να ταξιδέψει σε κάποιον άλλο τόπο... ακριβώς όπως έκαναν ο Γκίλμαν και η μάγισσα Κέζια Μέησον!

Ένα σύμπαν πολλαπλών διαστάσεων

Κάπου εδώ όμως πρέπει να λύσουμε μια παρεξήγηση που συχνά δημιουργείται: η τέταρτη διάσταση που περιγράψαμε ως τώρα ΔΕΝ είναι ο χρόνος! Η αντίληψη πως ο χρόνος είναι η τέταρτη διάσταση, αν και γνώριμη από παλιά, απέκτησε επιστημονική υπόσταση όταν το 1908 ο δάσκαλος του Αϊνστάιν, Χέρμαν Μινκόφσκι, βασισμένος στη θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας που είχε δημοσιεύσει ο μαθητής του το 1905, ανέπτυξε την οπτική του ενοποιημένου χωροχρονικού συνεχούς, όπου οι τρεις χωρικές διαστάσεις και ο χρόνος συνδυάζονται σε μια κοινή πολλαπλότητα (manifold).

Η δουλειά του Μινκόφσκι έδωσε στον Αϊνστάιν τα εφόδια για να διατυπώσει τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (1916). Ωστόσο, η φύση και η γεωμετρία της χρονικής τέταρτης διάστασης διαφέρουν ριζικά από την τέταρτη διάσταση του χώρου που περιγράφουν οι μαθηματικοί. Σε αντίθεση με μια χωρική διάσταση, στο χρόνο δεν μπορούμε να κινηθούμε ελεύθερα, αλλά μόνο με συγκεκριμένους περιορισμούς. Κατά συνέπεια, πολλά από τα φαινόμενα του τετραδιάστατου χώρου, όπως το πέρασμα της μάγισσας του Λάβκραφτ μέσα από τοίχους, δεν είναι δυνατά αν θεωρηθεί ο χρόνος σαν τέταρτη διάσταση.

Μήπως αυτό σημαίνει πως η διάσταση που περιγράψαμε δεν υπάρχει; Όχι απαραίτητα! Για την ακρίβεια, οι σύγχρονες κβαντικές θεωρίες προϋποθέτουν την ύπαρξη επιπλέον διαστάσεων για να ερμηνεύσουν φαινόμενα που δεν μπορούν να εξηγηθούν από τη θεωρία της Σχετικότητας.

Η ενοποιημένη θεωρία χορδών μάλιστα προτείνει πως ο τετραδιάστατος χωροχρόνος αποτελείται στην πραγματικότητα από 11 διαστάσεις (10 χωρικές και μία χρονική)! Είναι πολύ πιθανό, λοιπόν, η χωρική τέταρτη διάσταση που περιγράψαμε να υπάρχει επίσης, και να περιλαμβάνεται σε αυτές τις επιπλέον διαστάσεις. Εξάλλου, ο ίδιος ο Λάβκραφτ αναφέρεται στην τέταρτη διάσταση μιλώντας όχι για το χρόνο, αλλά για μια διάσταση "πέρα από τους γνωστούς άξονες του χώρου και του χρόνου". Εκεί κατοικούν οι Μεγάλοι Παλαιοί, καθώς και μια από τις πιο περίεργες και αινιγματικές οντότητες της Μυθολογίας Κθούλου: ο μυστηριώδης Φύλακας της Πύλης, Γιογκ Σοθώθ. Και είναι αυτή η εξωτική φιγούρα που θα μας απασχολήσει στη συνέχεια, καθώς η μορφή της μας δίνει την ευκαιρία να δούμε ένα ακόμη παράξενο μαθηματικό αίνιγμα...

Οι παράξενες Σφαίρες του Γιογκ-Σοθώθ

Το 1932 ο Λάβκραφτ έγραψε το διήγημα Ο Τρόμος στο Μουσείο, για λογαριασμό του συνεργάτη του, Hazel Heald. Στην παράξενη αυτή ιστορία, που εκτυλίσσεται μέσα σε ένα αλλόκοτο μουσείο κέρινων ομοιωμάτων, παρουσιάζεται για άλλη μια φορά ο Γιογκ-Σοθώθ, με τη χαρακτηριστική μορφή μιας "μάζας από ιριδίζουσες σφαίρες, εκθαμβωτικός μέσα στην τεράστια μοχθηρία του". Γιατί όμως ο συγγραφέας διάλεξε τη μορφή της σφαίρας για να περιγράψει αυτό το πλάσμα της τέταρτης διάστασης; Τι είναι αυτό που κάνει τις σφαίρες ξεχωριστές;

Ο πολυδιαστατικός χώρος που εξετάσαμε ως τώρα ίσως φαίνεται πολύπλοκος και εξωτικός, στην πραγματικότητα όμως υπακούει στους βασικούς κανόνες του Ευκλείδη. Ωστόσο, αν θέλουμε να δούμε την τέταρτη διάσταση όπως ο Λάβκραφτ, πρέπει να τη μελετήσουμε σε όρους μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας. Πώς μοιάζει όμως ο μη-Ευκλείδειος τετραδιάστατος χώρος; Για να το απαντήσουμε αυτό, θα περάσουμε από τη γεωμετρία σε έναν άλλο μαθηματικό κλάδο, την τοπολογία.

Όπως και η γεωμετρία, έτσι και η τοπολογία μελετά το σχήμα. Σε αντίθεση όμως με την κλασική γεωμετρία, η τοπολογία εφαρμόζει διαφορετικούς κανόνες σχετικά με την ομοιότητα των σχημάτων. Σε αυτήν, δυο σχήματα θεωρούνται ίδια αν είναι συνεχή, δηλαδή αν το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο χωρίς να διακοπεί. Για ένα γεωμέτρη λοιπόν ένα τετράγωνο, μπορεί να διαφέρει από ένα κύκλο, για έναν τοπολόγο όμως είναι ουσιαστικά το ίδιο σχήμα: είναι κύκλοι.

Σκεφτείτε, τώρα, το εξής: τα στερεά, όπως ένας κύβος, μια σφαίρα και, φυσικά, τα σώματά μας, εχουν τρεις διαστάσεις. Στην τοπολογική ορολογία όμως χαρακτηρίζονται ως "πολλαπλότητες δύο διαστάσεων", ή 2-πολλαπλότητες (2-manifolds), καθώς μπορεί να είναι τρισδιάστατα, αλλά οι επιφάνειές τους έχουν μόνο δύο διαστάσεις. Από τοπολογικής άποψης, αυτές οι επιφάνειες διαφέρουν μόνο σε ένα χαρακτηριστικό, το αν έχουν τρύπες ή όχι. Έτσι λοιπόν η επιφάνεια ενός κύβου είναι όμοια με αυτή μιας σφαίρας, αφού η μία μπορεί να μετατραπεί στην άλλη. Αντίθετα, η επιφάνεια ενός κρίκου δεν είναι, καθώς δεν μπορεί να αλλάξει σε σφαιρική χωρίς να κοπεί (Εικόνα 3).

Εικόνα 3: Η διαφορά ανάμεσα σε μια σφαίρα και ένα κρίκο.

Η παραπάνω λογική μπορεί όμως να επεκταθεί και σε ανώτερες διαστάσεις. Όπως, λοιπόν, η επιφάνεια ενός τρισδιάστατου στερεού είναι δισδιάστατη, έτσι και ένα τρισδιάστατο αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί το όριο ενός τετραδιάστατου αναλόγου, ή μιας 3-πολλαπλότητας. Έτσι, μια σφαίρα ουσιαστικά είναι η τριών διαστάσεων οριακή μορφή μιας τετραδιάστατης υπερσφαίρας, ή 3-σφαίρας.

Με αυτό το σκεπτικό μάλιστα θα μπορούσαμε να πούμε πως το σύνολο του τρισδιάστατου συμπαντικού χώρου που ζούμε είναι στην πραγματικότητα το τρισδιάστατο προσωπείο μιας ανώτερων διαστάσεων πολλαπλότητας, την οποία δεν μπορούμε άμεσα να αντιληφθούμε ή, όπως προτείνει η ολογραφική αρχή της θεωρίας χορδών, η προβολή σε τρεις διαστάσεις μιας πληροφορίας που εντοπίζεται στην αλλοδιαστατική επιφάνεια του "κοσμολογικού οριζοντα" (αναλογιστείτε πόσο μοιάζει αυτή η ιδέα με την αλληγορία του Σπηλαίου από την Πολιτεία του Πλάτωνα).

Τα Μαθηματικά του Φύλακα της Πύλης

Πώς, όμως, συμπεριφέρονται αυτές οι πολλαπλότητες από τοπολογικής άποψης; Η απάντηση δόθηκε όταν το 1904 ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Ανρί Πουανκαρέ, μετά από περίπλοκους υπολογισμούς βασισμένους στη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία του Ρήμαν, διατύπωσε την εικασία πως "κάθε απλά συνδεδεμένη, κλειστή 3-πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική με 3-σφαίρα". Πρακτικά, αυτό σημαίνει πως κάθε τετραδιάστατο αντικείμενο χωρίς τρύπες ή αναδιπλώσεις μετατρέπεται σε μια υπερσφαίρα (Εικόνα 4).

Εικόνα 4: Η τετραδιάστατη Υπερσφαίρα. 
Σύμφωνα με την εικασία του Πουανκαρέ, 
αυτό το μαθηματικό ανάλογο είναι το φυσιολογικό 
σχήμα κάθε κλειστής πολλαπλότητας.

Η γενικευμένη μορφή της εικασίας, δε, μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε από τις ανώτερες διαστάσεις. Η εικασία Πουανκαρέ, αν και παρέμεινε αναπόδεικτη για σχεδόν 100 χρόνια (αποδείχθηκε οριστικά μόλις το 2003 από τον Grigori Pelerman) βρήκε εφαρμογή στην καμπύλωση του χώρου και τη θεωρία της Σχετικότητας, στη μελέτη της υδροδυναμικής Navier-Stokes, την εκπομπή ακτινοβολιών και σε πολλά ακόμα συστήματα, ενώ έχει δώσει τα μέσα για την κατανόηση τόσο του σχήματος που πιθανώς έχει το Σύμπαν, όσο και της φύσης του τετραδιάστατου χώρου, στον οποίο φαίνονται να κυριαρχούν οι σφαιρικοί σχηματισμοί.

Με βάση λοιπόν αυτούς τους κανόνες, ένα πιθανό "πλάσμα της τέταρτης διάστασης" θα έπρεπε να έχει ρευστή δομή, με την τάση να υιοθετεί το σχήμα της υπερσφαίρας ενώ στα δικά μας, συνηθισμένα στις τρεις διαστάσεις μάτια, θα έμοιαζε με ένα συνοθύλλεμα μπλεγμένων και αλληλένδετων σφαιρών: αυτό ακριβώς δηλαδή που, σύμφωνα με τις περιγραφές, είναι ο Γιογκ-Σοθώθ! Φαίνεται λοιπόν πως ο Λάβκραφτ έκανε τη σωστή επιλογή όταν αποφάσισε να παρουσιάσει τον Φύλακα της Πύλης με αυτόν τον τρόπο. Και αυτό γιατί κατόρθωσε, εν αγνοία του ίσως, να απεικονίσει παραστατικά αυτό που οι μαθηματικοί αδυνατούσαν να κάνουν χωρίς να καταφύγουν σε μαθηματικούς τύπους και πολύπλοκες εξισώσεις: την παραξενιά του τετραδιάστατου χώρου!

Σύμφωνα με την εικασία του Πουανκαρέ, αυτό το μαθηματικό ανάλογο είναι το φυσιολογικό σχήμα κάθε κλειστής πολλαπλότητας.

Ταξίδι στις Ανώτερες Διαστάσεις

Τα μυστήρια και παράξενα μαθηματικά της Μυθολογίας Κθούλου και του τετραδιάστατου χώρου φυσικά δεν σταματούν εδώ. Καθώς, όμως, ο όγκος τους άνετα θα γέμιζε ένα ολόκληρο βιβλίο, η περιήγησή μας στα παράξενα μαθηματικά του Λάβκραφτ θα πρέπει να σταματήσει εδώ. Όποιος, όμως, ενδιαφέρεται, μπορεί να εξερευνήσει περισσότερο το θέμα και να "ταξιδέψει" στους παράξενους κόσμους των τεσσάρων διαστάσεων, μελετώντας τόσο το λαβκραφτικό έργο όσο και την κατάλληλη μαθηματική βιβλιογραφία.

Απαραίτητα στο εγχείρημα είναι φυσικά τα Στοιχεία του Ευκλείδη που, σχεδόν 24 αιώνες μετά τη συγγραφή τους, εξακολουθούν να είναι ένας από τους στυλοβάτες των Μαθηματικών. Τα έργα The Fourth Dimension του Charles Hinton και The Fourth Dimension: a Guided Tour of the Higher Universes του Rudy Rucker προσφέρουν μια εξαιρετική εισαγωγή τόσο στις έννοιες του τετραδιάστατου χώρου όσο και στον τρόπο οραματισμού του, ενώ το κλασικό πλέον Non-Euclidean Geometry του καθηγητή H.S.M. Coxeter αποτελεί την καλύτερη ίσως επιλογή για τη μελέτη της μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας. Το Flatland του Edwin Abbott, ακόμη κι αν δεν περιέχει αναφορές στον τετραδιάστατο χώρο, αποτελεί ένα έξοχο παράδειγμα της φιλοσοφίας των ανώτερων διαστάσεων και είναι απαραίτητο ανάγνωσμα για κάθε ενδιαφερόμενο. Τέλος, το αίνιγμα της εικασίας του Πουανκαρέ εξερευνάται έξοχα από το The Poincaré Conjecture του Donal O'Shea.

Λάβκραφτ και Μαθηματικά

Παραμένει όμως το εξής ερώτημα: Γιατί ο Λάβκραφτ επέλεξε να χρησιμοποιήσει περίπλοκες μαθηματικές έννοιες στη λογοτεχνία του; Τι ήταν αυτό που εξίταρε το ενδιαφέρον του; Σίγουρα η μεγάλη αγάπη του για την επιστήμη ήταν καθοριστικός παράγοντας. Από μικρή ηλικία έδειξε υπέρμετρο ενδιαφέρον για οτιδήποτε επιστημονικό, εκτελώντας αυτοσχέδια πειράματα και εκδίδοντας ερασιτεχνικά επιστημονικά περιοδικά. Από τις επιστολές του στις αρχές της δεκαετίας του 1920 μάλιστα, γνωρίζουμε πως ήταν καλά ενημερωμένος πάνω στο θέμα της πρωτοεμφανιζόμενης τότε θεωρίας της Σχετικότητας, που στηριζόταν τόσο στη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία όσο και στην τετραδιάστατη τοπολογία, και πως ανησυχούσε για τις πιθανές επιπλοκές που θα μπορούσε να έχει αυτή η νέα θεωρία.

Για τον Λάβκραφτ αυτή η μεταμόρφωση της επιστήμης σηματοδοτούσε το άνοιγμα μιας νέας οδού προς κάτι άγνωστο, με τρομακτικές προοπτικές. Είναι γνωστό άλλωστε πως τα όνειρά του, πάνω στα οποία βασίστηκε σημαντικό κομμάτι του έργου του, στοιχειώνονταν συχνά από εικόνες της παράξενης γεωμετρίας και των αλλόκοτων διαστάσεων με τις οποίες είχε γίνει γνώριμος, αλλά δεν μπορούσε εύκολα να δεχτεί ή να κατανοήσει. Ίσως λοιπόν αυτός ο φόβος που ένιωθε γι αυτά τα παράξενα μαθηματικά να ήταν και ο λόγος που τα χρησιμοποίησε: για να μεταφέρει, μέσα από μια υποβλητική ατμόσφαιρα, αυτό που ένιωθε ο ίδιος στους αναγνώστες του, τον τρόμο που μόνο το άγνωστο και το ακατανόητο μπορεί να εμπνεύσει. Εξάλλου, το είχε δηλώσει και ο ίδιος ξεκάθαρα: "το παλαιότερο και δυνατότερο συναίσθημα της ανθρωπότητας είναι ο φόβος, και το παλαιότερο και δυνατότερο είδος φόβου είναι ο φόβος για το άγνωστο...".

Βιβλιογραφία

• Abbott, E.A., Flatland: A Romance of Many Dimensions. Dover Publications Inc., 2007
• Armstrong, M.A., Basic Topology. Springer, 2000
• Ashcroft-Nowicki, D., Brennan, J.H., Η Μαγική Χρήση της Σκέψης. Αρχέτυπο, 2008
• Barker, C., The Hellbound Heart. Harper Torch, 1991
• Bertiaux, M., The Voudon-Gnostic Workbook. Magickal Childe Inc., 1988
• Carroll, P.J., Psybermagick: Advanced Ideas in Chaos Magick. New Falcon, 2000
• Crowley, A., Moonchild. Weiser Books, 1972
• Dante, The Divine Comedy of Dante Aligheri. Pennsylvania State University, 1998
• Drob, S.L., Iggulim and Yosher: the Kabbalistic Theory of "Circles" and "Lines". The New Kabbalah. Retrieved April, 2013.urlFrater T.S., Ye Rite to Calle Yogge-Sothothe. Celephais Press, 2003
• Grant, K. Cults of the Shadow. Frederic Muller, 1975
• Hawking, S.W., M-Theory, the Theory Formerly Known as Strings. The Stephen Hawking Centre for Theoretical Cosmology. Retrieved April, 2013.
• Hawking, S.W., The Holographic Principle and M-theory. The Stephen Hawking Centre for Theoretical Cosmology. Retrieved April, 2013.
• Hinton, C.H., The Fourth Dimension. Celephais Press, 2004
• Hull, T., H.P. Lovecraft: a Horror in Higher Dimensions, Math Horizons, Vol. 13 No. 3 (Feb. 2006), pp. 10-12
• Hulse, D.A., New Dimensions for the Cube of Space. Samuel Weiser, 2000
• Ιωαννίδης, Γ., Necronomicon. Αρχέτυπο, 2008
• Ιωαννίδης, Γ., Necronomicon: Το Μονοπάτι του Μαύρου Θεού. Αρχέτυπο, 2011
• Ιωαννίδης, Γ., Υπάρχει ο Κυβόλιθος του Λεμαρσάν;. Mystery τ. 49, Φεβρουάριος 2009
• Kaplan, A., Sepher Yetzirah. Weiser Books, 1997
• Langford, D., Curiosities: The Fourth Dimension, by C. Howard Hinton (Review). Fantasy & Science Fiction, January 2001
• Langford, D., Unspeakable Horrors. Fortean Times No. 95, Feb. 1997
• Lodge, O., F.R.S., A Record of Observations of Certain Phenomena in Trance – Part 1. Proceedings of the Society for Psychical Research Vol. 6 (1889-90), p. 443
• Lovecraft, H.P., Supernatural Horror in Literature. Courier Dover Publications, 1975
• Lovecraft, H.P., The Call of Cthulhu and Other Weird Stories. Penguin Classics, 2002
• Lovecraft, H.P., The Thing on the Doorstep and Other Weird Stories. Penguin Classics, 2005
• Lovecraft, H.P., The Dreams in the Witch-House and Other Weird Stories. Penguin Classics, 2005
• Machen, A., The Three Impostors. Project Gutenberg of Australia, 2003
• Μπαλτούμας, Φ., Τα Παράξενα Μαθηματικά του Λάβκραφτ. Mystery τ. 89, Μάρτιος 2013
• Ouspensky, P.D., Tertium Organum. Cosimo Classics, 2005
• Πλάτων, Πολιτεία. Εκδόσεις Πόλις, 2001
• Peterson, M.A., Dante and the 3-Sphere. American Journal of Physics 47 (12), Dec. 1979
• Reese, C.L. (Ebony Anpu), Multidimensional Magick. Cabal of the Hawk and Jackal, 1997
• Rucker, R., Geometry, Relativity and the Fourth Dimension. Dover Publications Inc., 1977
• Rucker, R., The Fourth Dimension: A Guided Tour of the Higher Universes. Mariner Books, 1985
• Steiner, R., The Fourth Dimension: Sacred Geometry, Alchemy and Mathematics. Anthroposophic Press, 2001
• Susskind, L., The World as a Hologram. Journal of Mathematical Physics 36 (11), 6377-6396, 1995
• 't Hooft, G., Dimensional Reduction in Quantum Gravity. Institute for Theoretical Physics, Utrecht University, Oct. 1993
• Tyson, D., Αστρική Προβολή. Αρχέτυπο, 2008
• Webb, S., Out of this World: Colliding Universes, Branes, Strings and Other Wild Ideas of Modern Physics. Copernicus Books, Springer Science, 2004
• Wetzel, J., The Forgotten Ones: Remaping Lovecraftian Myth. Kaos Magick Journal Vol. 2, No. 1, Spring Edition 1999

---

• Abbott, E.A., Flatland: A Romance of Many Dimensions. Dover Publications Inc., 2007
• Coxeter, H.S.M., Non-Euclidean Geometry (6th Edition). The Mathematical Association of America Press, 1998
• Ευκλείδης, Ευκλείδη "Στοιχεία". Κέντρο Έρευνας, Επιστήμης και Εκπαίδευσης (Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ), Αθήνα, 2001
• Einstein, A., Minkowski, H., The Principle of Relativity: Original Papers of A. Einstein and H. Minkowski. University of Calcutta Press, 1920
• Elwes, R., Exotic Spheres, or why 4-Dimensional Space is such a Crazy Place. +Plus Magazine, 2011
• Harms, D., The Cthulhu Mythos Encyclopedia (3rd Edition). Elder Signs Press, 2008
• Hinton, C.H., The Fourth Dimension. Celephais Press, 2004
• Hinton, C.H., A New Era of Thought. Celephais Press, 2009
• Hull, T., H.P. Lovecraft: a Horror in Higher Dimensions, Math Horizons, Vol. 13 No. 3 (Feb. 2006), pp. 10-12
• Καρτσακλής, Α., Γενικά Μαθηματικά. Επιστημονικές Εκδόσεις Αράκυνθος, 2001
• Lovecraft, H.P., Selected Letters Vol. I-IV. Arkham House Publishing, 1968 - 1976
• Lovecraft, H.P., Supernatural Horror in Literature. Courier Dover Publications, 1975
• Lovecraft, H.P., The Call of Cthulhu and Other Weird Stories. Penguin Classics, 2002
• Lovecraft, H.P., The Dreams in the Witch-House and Other Weird Stories, Penguin Classics, 2005
• Lovecraft, H.P., The Thing on the Doorstep and Other Weird Stories. Penguin Classics, 2005
• Luminet, J.P., A Cosmic Hall of Mirrors. Physics World, Sep. 2005
• Mackenzie, D., The Poincaré Conjecture – Proved. Science, Vol. 314 No. 5807 (Dec. 2006), pp. 1848-1849
• O’Shea, D., The Poincaré Conjecture: In Search of the Shape of the Universe. Walker & Company, 2007
• Rucker, R., Geometry, Relativity and the Fourth Dimension. Dover Publications Inc., 1977
• Rucker, R., The Fourth Dimension: A Guided Tour of the Higher Universes. Mariner Books, 1985

necronomiconmagic

via